в) В единичном кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$DAB_1$$.

в) В единичном кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдем угол между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$DAB_1$$.

1. Прямая $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$, значит, проекция $$AA_1$$ на плоскость $$DAB_1$$ есть прямая $$AO$$, где $$O$$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из $$A_1$$ на плоскость $$DAB_1$$. Угол между прямой и плоскостью — это угол $$A_1AO$$.

2. $$AA_1 = 1$$, так как куб единичный.

3. Рассмотрим плоскость $$DAB_1$$. Прямая $$A_1O$$ перпендикулярна плоскости $$DAB_1$$. $$A_1O$$ - высота пирамиды $$A_1ABD$$, проведенная из вершины $$A_1$$ к основанию $$DAB_1$$.

4. $$A_1O = \frac{AA_1 \cdot AD \cdot AB}{DA + AB + DB_1} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{1 + 1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

5. Рассмотрим треугольник $$A_1AO$$. $$\sin{\angle A_1AO} = \frac{A_1O}{AA_1} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

6. $$\angle A_1AO = \arcsin{(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}$$.

Ответ: $$\arcsin{(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}$$