4. В вертикально расположенной длинной пробирке (площадь поперечного сечения S = 1,2 см²), закрытой легкоподвижным поршнем сверху, находится идеальный газ (рисунок а). Длина столбика газа l₀ = 59,0 см. Когда пробирку расположили горизонтально (рисунок b), поршень сместился, и длина столбика изменилась до l₁ = 62,0 см. Определите массу поршня при нормальном атмосферном давлении (p₀ = 100 кПа) и постоянной температуре газа.

Дано: $$S = 1.2 \text{ см}^2 = 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$$ $$l_0 = 59.0 \text{ см} = 0.59 \text{ м}$$ $$l_1 = 62.0 \text{ см} = 0.62 \text{ м}$$ $$p_0 = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}$$ Найти: $$m$$ - массу поршня Решение: В вертикальном положении давление газа в пробирке равно: $$p_a = p_0 + \frac{mg}{S}$$, где $$p_0$$ - атмосферное давление, $$m$$ - масса поршня, $$g$$ - ускорение свободного падения, $$S$$ - площадь сечения пробирки. В горизонтальном положении давление газа в пробирке равно атмосферному давлению: $$p_b = p_0$$. По закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса: $$p_a V_a = p_b V_b$$ $$(p_0 + \frac{mg}{S})Sl_0 = p_0Sl_1$$ $$(p_0 + \frac{mg}{S})l_0 = p_0l_1$$ $$p_0l_0 + \frac{mgl_0}{S} = p_0l_1$$ $$\frac{mgl_0}{S} = p_0l_1 - p_0l_0 = p_0(l_1 - l_0)$$ $$mg = \frac{p_0S(l_1 - l_0)}{l_0}$$ $$m = \frac{p_0S(l_1 - l_0)}{gl_0}$$ $$m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 (0.62 \text{ м} - 0.59 \text{ м})}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.59 \text{ м}} = \frac{10^5 \cdot 1.2 \cdot 10^{-4} \cdot 0.03}{9.8 \cdot 0.59} \text{ кг} = \frac{1.2 \cdot 3}{9.8 \cdot 0.59} \cdot 10^{-1} \text{ кг} \approx 0.062 \text{ кг}$$ Ответ: $$m \approx 0.062 \text{ кг}$$