1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

В данной задаче необходимо найти вероятность того, что все 3 детали, извлеченные сборщиком, окажутся окрашенными. Для этого воспользуемся классическим определением вероятности:

$$P = \frac{m}{n}$$, где

• $$P$$ - вероятность события,
• $$m$$ - число благоприятных исходов,
• $$n$$ - общее число возможных исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов $$n$$. Это число способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15. Используем формулу для сочетаний без повторений:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где

• $$n$$ - общее количество элементов,
• $$k$$ - количество выбираемых элементов.

В нашем случае: $$n = 15$$, $$k = 3$$.

$$n = C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455$$

2. Найдем число благоприятных исходов $$m$$. Это число способов, которыми можно извлечь 3 окрашенные детали из 10 окрашенных деталей. Используем ту же формулу для сочетаний:

В нашем случае: $$n = 10$$, $$k = 3$$.

$$m = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$$

3. Теперь найдем вероятность $$P$$:

$$P = \frac{m}{n} = \frac{120}{455} = \frac{24}{91}$$

Ответ: $$\frac{24}{91}$$