В1. Дано: \(MM_1\parallel BB_1\), \(MM_1:BB_1=2:3\), \(MB=6\). а) Доказать, что точки \(A,M_1,B_1\) лежат на одной прямой. б) Найти \(AB\).

а) Прямые \(MM_1\) и \(BB_1\) параллельны и задают плоскость, содержащую точки \(M,B,M_1,B_1\). Поскольку \(A,M,B\) лежат на одной прямой, точка \(A\) также принадлежит этой плоскости. Следовательно, точки \(A,M_1,B_1\) лежат в одной плоскости, но это само по себе ещё не доказывает, что они лежат на одной прямой. Однако по рисунку также задано, что \(A,M_1,B_1\) принадлежат плоскости \(\alpha\); пересечение этой плоскости с плоскостью \(AMM_1B\) — прямая \(AM_1B_1\). Значит, точки \(A,M_1,B_1\) коллинеарны.

б) Из подобия треугольников \(AMM_1\) и \(ABB_1\), стороны которых попарно параллельны, следует \(AM:AB=MM_1:BB_1=2:3\). Тогда \(MB=AB-AM=\frac13 AB=6\), откуда \(AB=18\).

Ответ: а) точки \(A,M_1,B_1\) лежат на одной прямой; б) \(AB=18\).