В3. Квадрат $ABCD$ и трапеция $FMNE$ не лежат в одной плоскости. а) Доказать, что $FE\parallel AB$. б) Найти $AB$. На рисунке $MN=10$, $FE=16$; $D$ и $C$ — середины $FM$ и $NE$ соответственно.

Question

Вопрос: $Фото задания: В3. Квадрат $ABCD$ и трапеция $FMNE$ не лежат в одной плоскости. а) Доказать, что $FE\parallel AB$. б) Найти $AB$. На…$ Фото задания

В3. Квадрат $ABCD$ и трапеция $FMNE$ не лежат в одной плоскости. а) Доказать, что $FE\parallel AB$. б) Найти $AB$. На рисунке $MN=10$, $FE=16$; $D$ и $C$ — середины $FM$ и $NE$ соответственно.

Accepted Answer

В трапеции $FMNE$ точки $D$ и $C$ — середины её боковых сторон. Поэтому $DC$ — средняя линия трапеции:

$DC\parallel MN\parallel FE$, $DC=\frac{MN+FE}{2}=\frac{10+16}{2}=13$.

В квадрате $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны: $AB\parallel DC$, $AB=DC$. Следовательно, $AB=13$.

Но вывод $FE\parallel AB$ из этих данных в пространстве не следует. Известно, что обе прямые параллельны $DC$, однако они находятся в разных плоскостях, которые пересекаются по $DC$; поэтому $FE$ и $AB$ могут быть скрещивающимися. Условие прямо сообщает, что плоскости квадрата и трапеции различны, и дополнительного условия, обеспечивающего компланарность $FE$ и $AB$, на изображении нет. Значит, пункт а) в приведённой формулировке доказать нельзя; вероятно, в задании пропущено дополнительное условие.

Ответ: пункт а) не следует из данных условия; пункт б) $AB=13$.