В1. К потолку комнаты высотой 4 м прикреплена люминесцентная лампа длиной 2 м. На высоте 2 м от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром 2 м. Центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали. Найдите максимальное расстояние между крайними точками полутени на полу.

Краткое пояснение:

Для решения задачи построим схематическое изображение расположения лампы, диска и пола. Используем подобие треугольников для нахождения размеров полутени.

Дано:

• Высота комнаты (H) = 4 м
• Длина лампы (L) = 2 м
• Высота диска от пола (h_d) = 2 м
• Диаметр диска (D) = 2 м
• Расстояние от лампы до диска (L_ld) = H - h_d = 4 м - 2 м = 2 м
• Расстояние от диска до пола (L_dp) = h_d = 2 м

Решение:

1. Представим ситуацию: Лампа находится на высоте 4 м, диск - на высоте 2 м. Свет от краев лампы, проходя мимо краев диска, создает на полу область полутени.
2. Используем подобие треугольников: Пусть диаметр полутени на полу будет D_p. Рассмотрим треугольники, образованные лучами света, краями лампы и краями диска.
3. Размер полутени от одного края лампы: Свет, идущий от одного края лампы, будет создавать полутень, размеры которой зависят от размеров лампы, диска и расстояний между ними.
4. Упрощение: Поскольку лампа имеет длину 2 м, а диск диаметр 2 м, и они расположены на одинаковом расстоянии от пола (2 м), мы можем рассматривать два луча от краев лампы, проходящих через края диска.
5. Найдем размер полутени: Треугольник, образованный источником света (лампа), препятствием (диск) и экраном (пол), подобен. Рассмотрим соотношение размеров и расстояний.
6. Рассмотрим половину ситуации: от центра вертикали до края. Высота от лампы до диска = 2 м. Высота от диска до пола = 2 м. Радиус лампы = 1 м. Радиус диска = 1 м.
7. Радиус полутени (r_p): Используем подобие треугольников. Большой треугольник: основание - радиус полутени (r_p), высота - расстояние от лампы до пола (4 м). Меньший треугольник (внутри): основание - радиус диска (1 м), высота - расстояние от лампы до диска (2 м).
8. Пропорция: \( \frac{r_p}{4} = \frac{1}{2} \)
9. \( r_p = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 \) м.
10. Диаметр полутени (D_p): \( D_p = 2 \cdot r_p = 2 \cdot 2 = 4 \) м.
11. Максимальное расстояние между крайними точками полутени: Это и есть диаметр полутени.

Ответ: 4 м