В1. Найдите значение выражения \( \frac{a^2 - 1}{a - b} - \frac{7a - 7b}{a^2 + a} \) при \( a = -5 \).

Решение:

Упростим выражение:

\( \frac{a^2 - 1}{a - b} - \frac{7a - 7b}{a^2 + a} = \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} - \frac{7(a-b)}{a(a+1)} \)

Приведем к общему знаменателю \( a(a+1)(a-b) \):

\( \frac{a(a+1)(a-1)(a+1)}{a(a+1)(a-b)} - \frac{7(a-b)a(a+1)}{a(a+1)(a-b)} \) - это ошибка, нужно преобразовать дробь \( \frac{a^2-1}{a-b} \) в \( \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \) и \( \frac{7a-7b}{a^2+a} \) в \( \frac{7(a-b)}{a(a+1)} \).

Правильное упрощение:

\( \frac{a^2 - 1}{a - b} - \frac{7(a - b)}{a(a + 1)} \)

Общий знаменатель: \( a(a+1)(a-b) \)

\( \frac{(a^2-1)a(a+1)}{a(a+1)(a-b)} - \frac{7(a-b)^2}{a(a+1)(a-b)} \)

\( \frac{a(a^3+a^2-a-1) - 7(a^2-2ab+b^2)}{a(a+1)(a-b)} \) - Это слишком сложно. Попробуем другой подход.

Заметим, что \( a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \) и \( 7a - 7b = 7(a-b) \).

Выражение: \( \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} - \frac{7(a-b)}{a(a+1)} \)

При \( a = -5 \), значение \( b \) не указано, что делает задачу некорректной. Предположим, что в условии опечатка и \( b \) не используется в числителе второй дроби, или в знаменателе первой дроби. Исходя из следующего вопроса, возможно, \( b \) отсутствует. Если предположить, что \( b = 0 \), то выражение будет:

\( \frac{a^2-1}{a} - \frac{7a}{a^2+a} = \frac{a^2-1}{a} - \frac{7a}{a(a+1)} = \frac{a^2-1}{a} - \frac{7}{a+1} \)

Подставляем \( a = -5 \):

\( \frac{(-5)^2-1}{-5} - \frac{7}{-5+1} = \frac{25-1}{-5} - \frac{7}{-4} = \frac{24}{-5} + \frac{7}{4} = -4.8 + 1.75 = -3.05 \)

Если же предположить, что \( b \) должно быть равно \( a \), тогда знаменатель \( a-b \) равен 0, что недопустимо.

Если предположить, что \( b \) отсутствует и выражение \( \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{7a}{a^2+a} \), то получаем \( -3.05 \).

Однако, более вероятна опечатка в задании. Рассмотрим, если бы было:

\( \frac{a^2-1}{a} - \frac{7a-7}{a^2+a} = \frac{a^2-1}{a} - \frac{7(a-1)}{a(a+1)} = \frac{(a-1)(a+1)}{a} - \frac{7(a-1)}{a(a+1)} \)

Подставим \( a = -5 \):

\( \frac{(-5-1)(-5+1)}{-5} - \frac{7(-5-1)}{-5(-5+1)} = \frac{(-6)(-4)}{-5} - \frac{7(-6)}{-5(-4)} = \frac{24}{-5} - \frac{-42}{20} = -4.8 - (-2.1) = -4.8 + 2.1 = -2.7 \)

Если предположить, что \( a-b \) в первой дроби и \( a^2+a \) во второй имеют одинаковые значения, или \( b \) каким-то образом связано с \( a \). Без уточнения \( b \) задача не решаема. Предполагаем, что \( a-b \) это просто другая переменная, не связанная с \( a \) в данном контексте, или \( b \) равно \( 0 \). Но если \( b \) не связано, то ответ будет зависеть от \( b \).

Рассмотрим случай, когда \( a-b \) это другая переменная, скажем \( x \), и \( a^2+a \) другая, скажем \( y \). Тогда \( \frac{a^2-1}{x} - \frac{7(a-b)}{y} \).

Наиболее вероятная опечатка: \( \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{7a - 7b}{a^2 + a} \) где \( b=0 \) или \( a-b = a \).

Если \( a-b = a \), то \( b=0 \).

\( \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{7a}{a^2 + a} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{7a}{a(a + 1)} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{7}{a + 1} \)

Подставляем \( a = -5 \):

\( \frac{(-5)^2 - 1}{-5} - \frac{7}{-5 + 1} = \frac{25 - 1}{-5} - \frac{7}{-4} = \frac{24}{-5} + \frac{7}{4} = -4.8 + 1.75 = -3.05 \)

Ответ: -3.05