В1. Точки А (-5; 2), В (1; 2), С (1; −4) и D – вершины прямоугольника. Укажите координаты точки Д.

Решение:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Также диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим векторы, образованные вершинами:

• Вектор AB = (1 - (-5); 2 - 2) = (6; 0)
• Вектор BC = (1 - 1; -4 - 2) = (0; -6)

Так как AB параллелен оси X (y-координаты равны), а BC параллелен оси Y (x-координаты равны), то AB перпендикулярен BC, что подтверждает, что это углы прямоугольника.

Чтобы найти координаты точки D, мы можем использовать свойство, что противоположные стороны параллельны и равны:

AD должен быть параллелен и равен BC. Следовательно, D = A + BC = (-5 + 0; 2 + (-6)) = (-5; -4).

Или CD должен быть параллелен и равен BA. Следовательно, D = C + BA = (1 + 6; -4 + 0) = (7; -4). Это ошибка, так как D должно быть в другом месте.

Правильный подход: противоположные вершины:

Вектор AD = Вектор BC. D - A = C - B. D = A + C - B = (-5 + 1 - 1; 2 + (-4) - 2) = (-5; -4).

Проверим, что CD параллелен BA: D - C = (-5 - 1; -4 - (-4)) = (-6; 0). Это равно -BA, что означает параллельность.

Другой способ: сумма векторов от одной вершины:

D = A + (C - B) = (-5; 2) + (1-1; -4-2) = (-5; 2) + (0; -6) = (-5; -4).

Или D = C + (A - B) = (1; -4) + (-5-1; 2-2) = (1; -4) + (-6; 0) = (-5; -4).

Ответ: (-5; -4)