В1. В прямоугольном треугольнике АВС угол между бис- сектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С, равен 15°. Сторона АВ = 14 см. Найдите сторону АС, если известно, что точка Клежит между В и Н.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°)
• CK — биссектриса
• CH — высота
• ∠KCH = 15°
• AB = 14 см
• K лежит между B и H

Найти: AC

Решение:

1. Углы в прямоугольном треугольнике:
• ∠C = 90°
• ∠A + ∠B = 90°
2. Свойства биссектрисы:
• CK делит ∠C пополам, значит ∠ACK = ∠BCK = 90° / 2 = 45°.
3. Свойства высоты:
• CH перпендикулярна AB, значит ∠CHA = ∠CHB = 90°.
• В треугольнике CBH: ∠BCH = 90° - ∠B.
• В треугольнике ACH: ∠ACH = 90° - ∠A.
4. Угол между биссектрисой и высотой:
• ∠KCH = |∠ACK - ∠ACH| = |45° - (90° - ∠A)| = |∠A - 45°|
• Или ∠KCH = |∠BCK - ∠BCH| = |45° - (90° - ∠B)| = |∠B - 45°|
• Нам дано, что ∠KCH = 15°.
• Следовательно, |∠A - 45°| = 15° или |∠B - 45°| = 15°.
• Это означает, что ∠A = 45° + 15° = 60° или ∠A = 45° - 15° = 30°.
• Или ∠B = 45° + 15° = 60° или ∠B = 45° - 15° = 30°.
• Так как ∠A + ∠B = 90°, то если ∠A = 60°, то ∠B = 30°. Если ∠A = 30°, то ∠B = 60°.
• Условие 'точка К лежит между В и Н' означает, что биссектриса СК находится между высотой CH и стороной CB. Это происходит, когда угол A больше угла B.
• Следовательно, ∠A = 60° и ∠B = 30°.
5. Находим сторону AC:
• В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла.
• \[ \sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} \]
• \[ \sin(30°) = \frac{AC}{14} \]
• Мы знаем, что (30°) = \(\frac{1}{2}\).
• \[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{14} \]
• Отсюда, AC = 14 \(\times\) \(\frac{1}{2}\) = 7 см.

Ответ: 7 см