В2.3. Упростите выражение: а) $\frac{(n+2)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+1)!}$; б) $\frac{(n+3)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+2)!}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В2.3. Упростите выражение: а) $\frac{(n+2)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+1)!}$; б) $\frac{(n+3)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+2)!}$.$ Фото задания

В2.3. Упростите выражение: а) $\frac{(n+2)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+1)!}$; б) $\frac{(n+3)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+2)!}$.

Accepted Answer

а) Деление заменяем умножением на обратную дробь:
$\frac{(n+2)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2)!}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$.
Сокращая факториалы, получаем $(n+1)(n+2)\cdot n(n+1)=n(n+1)^2(n+2)$.

б) Аналогично:
$\frac{(n+3)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+2)!}=\frac{(n+3)!}{n!}\cdot\frac{(n+2)!}{(n-1)!}$.
После раскрытия факториалов и сокращения: $(n+1)(n+2)(n+3)\cdot n(n+1)(n+2)=n(n+1)^2(n+2)^2(n+3)$.

В обоих выражениях факториалы определены при натуральном $n\ge1$.

Ответ: а) $n(n+1)^2(n+2)$; б) $n(n+1)^2(n+2)^2(n+3)$.

В2.3. Упростите выражение: а) \(\frac{(n+2)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+1)!}\); б) \(\frac{(n+3)!}{n!}:\frac{(n-1)!}{(n+2)!}\).

Ответ: