14. Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 5 и на 9, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 15? Запишите решение и ответ. Решение: Ответ:

Пусть задуманное число равно x. При делении x на 4, 5 и 9 получились остатки r1, r2 и r3 соответственно. Известно, что r1 + r2 + r3 = 15. Поскольку остаток от деления на число всегда меньше этого числа, то r1 < 4, r2 < 5 и r3 < 9. Попробуем найти возможные значения остатков. Максимальное значение суммы r1 + r2 + r3 = 3 + 4 + 8 = 15. Значит, r1 = 3, r2 = 4, r3 = 8. Тогда x можно представить в виде: x = 4k1 + 3 x = 5k2 + 4 x = 9k3 + 8 Заметим, что x = 4k1 + 3 = 4(k1 + 1) - 1. Значит, x при делении на 4 дает остаток 3. x = 5k2 + 4 = 5(k2 + 1) - 1. Значит, x при делении на 5 дает остаток 4. x = 9k3 + 8 = 9(k3 + 1) - 1. Значит, x при делении на 9 дает остаток 8. Заметим, что если x + 1 делится на 4, 5 и 9, то x+1 должно делиться на НОК(4, 5, 9). НОК(4, 5, 9) = 180. Тогда x + 1 = 180n, где n - целое число. x = 180n - 1. Теперь найдем остаток от деления x на 15. x = 180n - 1 = 15 * 12n - 1 = 15 * 12n - 15 + 14 = 15(12n - 1) + 14. Значит, остаток от деления x на 15 равен 14. Ответ: **14**