Разберем каждое утверждение.
(1)Всю дорогу до Царского Села архитектор Василий Стасов был погружен в свои мысли.
Предложение простое, следовательно, бессоюзное.
(2)Изредка бросал он рассеянный взгляд на покрытую снегом равнину, по которой пролегала дорога, соединяющая столицу с Царским Селом, и думал о своем.
Предложение сложное, состоит из трех простых. Первая часть связана со второй при помощи союзного слова которой, следовательно, придаточное определительное.
Вторая часть связана с третьей союзом И, следовательно, это сложносочиненная связь.
(3)Ему – молодому зодчему, немало построившему в Москве, - дано поручение составить проект переделки флигеля, в котором решено было открыть новое учебное заведение – Лицей.
Придаточное определительное присоединяется к главному при помощи союзного слова котором.
(4)Стасову припомнились слухи, что ходили в петербургском обществе.
Придаточное присоединяется к главному при помощи союза что, следовательно, это придаточное изъяснительное.
(5)Одни говорили, что император задумал воспитывать своих младших братьев – Николая и Михаила – вместе с отпрысками знатнейших фамилий. (6)Другие полагали, что царю, не имеющему своих детей, захотелось видеть вблизи себя молодежь.
Оба предложения сложноподчиненные с придаточными изъяснительными.
Таким образом, верными являются утверждения 1, 2, 3.
Ответ: 123