Вариант 3 1. На рисунке изображён квадрат ABCD. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая OR, перпендикулярная прямой BD. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости АРС.

Доказательство:

1) Рассмотрим квадрат ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Так как OR перпендикулярна BD (по условию), то угол между OR и BD равен 90 градусам.

2) Диагонали квадрата перпендикулярны, значит, угол между AC и BD также равен 90 градусам. Таким образом, BD перпендикулярна AC.

3) Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и OR, лежащим в плоскости APC. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и всей плоскости. Следовательно, прямая BD перпендикулярна плоскости APC, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что прямая BD перпендикулярна плоскости APC.