Вариант 2, задача 7: Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O, AD = 24, BC = 8, AC = 16. Найдите AO.

**Решение:**

1. Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (углы BOC и DOA вертикальные, углы BCO и DAO накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

2. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}\).

3. Обозначим \(AO = x\). Тогда \(OC = AC - AO = 16 - x\).

4. Получаем пропорцию: \(\frac{x}{16 - x} = \frac{24}{8}\).

5. Упрощаем: \(\frac{x}{16 - x} = 3\).

6. Решаем уравнение: \(x = 3(16 - x)\).

7. \(x = 48 - 3x\).

8. \(4x = 48\).

9. \(x = 12\).

**Ответ:** \(AO = 12\).