Вариант 1. 1. Представьте в виде многочлена выражение (4a − 3)(3a + 1) − 12a². Найдите значение этого выражения при a = −4/5. 2. Упростите выражение (a + 2b)² − (a − b)(a + b). Найдите значение этого выражения при a = −2, b = 1. 3. Многочлен P = −3x² + 6x − 3 запишите в виде квадрата двучлена с некоторым коэффициентом. Покажите, что при всех значениях переменной значения многочлена P неположительны. 4. Разложите на множители многочлен P = x² − y² − x + y. 5. Используя разложение на множители, найдите все корни уравнения (3x + 1)² = (2x − 1)².

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\((4a-3)(3a+1)-12a^2=12a^2+4a-9a-3-12a^2=-5a-3\).

Подставим \(a=-\frac45\): \(-5\cdot\left(-\frac45\right)-3=4-3=1\).

Ответ: многочлен \(-5a-3\); при \(a=-\frac45\) значение равно 1.

Раскроем скобки: \((a+2b)^2-(a-b)(a+b)=a^2+4ab+4b^2-(a^2-b^2)=4ab+5b^2\).

Подставим \(a=-2\), \(b=1\): \(4\cdot(-2)\cdot1+5\cdot1^2=-8+5=-3\).

Ответ: \(4ab+5b^2\); значение равно \(-3\).

Вынесем коэффициент и свернём выражение в квадрат двучлена:

\(P=-3x^2+6x-3=-3(x^2-2x+1)=-3(x-1)^2\).

Квадрат любого числа неотрицателен: \((x-1)^2\geq0\). Поэтому \(-3(x-1)^2\leq0\) при любом действительном \(x\); равенство достигается при \(x=1\).

Ответ: \(P=-3(x-1)^2\leq0\) для всех действительных \(x\).

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

\(P=(x^2-y^2)-x+y=(x-y)(x+y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)\).

Ответ: \((x-y)(x+y-1)\).

Перенесём всё в одну часть и применим разность квадратов:

\((3x+1)^2-(2x-1)^2=0\).

\(((3x+1)-(2x-1))((3x+1)+(2x-1))=0\).

\((x+2)(5x)=0\), откуда \(x=-2\) или \(x=0\).

Ответ: \(x=-2,\ 0\).