Вариант 1: 1. Решите уравнение: a) 2x² + 7x - 9 = 0; б) 3x² = 18x; в) 100x² - 16 = 0; г) x² - 16x + 63 = 0. 2. Докажите тождество: 6x² - 7x + 2 = (3x - 2)(2x – 1). 3. Сократите дробь: (4x² + 10x - 6) / (x + 3). 4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см². 5. В уравнении x² + px - 18 = 0 один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вариант 1

1. Решите уравнение:

1. a) \( 2x^2 + 7x - 9 = 0 \)
   \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \)
   \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
   \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5 \)
2. б) \( 3x^2 = 18x \)
   \( 3x^2 - 18x = 0 \)
   \( 3x(x - 6) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 6 \)
3. в) \( 100x^2 - 16 = 0 \)
   \( 100x^2 = 16 \)
   \( x^2 = \frac{16}{100} \)
   \( x = \pm \sqrt{\frac{16}{100}} = \pm \frac{4}{10} = \pm 0.4 \)
4. г) \( x^2 - 16x + 63 = 0 \)
   \( D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4 \)
   \( x_1 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
   \( x_2 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

2. Докажите тождество: \( 6x^2 - 7x + 2 = (3x - 2)(2x – 1) \)

Раскроем скобки в правой части:

\( (3x - 2)(2x - 1) = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 - 2 \cdot 2x + 2 \cdot 1 = 6x^2 - 3x - 4x + 2 = 6x^2 - 7x + 2 \)

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

3. Сократите дробь: \( \frac{4x^2 + 10x - 6}{x + 3} \)

Разложим числитель на множители. Для этого найдём корни уравнения \( 4x^2 + 10x - 6 = 0 \).

\( 2(2x^2 + 5x - 3) = 0 \)

\( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)

\( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)

\( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \)

Значит, \( 4x^2 + 10x - 6 = 4(x - 0.5)(x - (-3)) = 4(x - 0.5)(x + 3) = (2(x - 0.5))(2(x + 3)) = (2x - 1)(2(x + 3)) \)

Теперь сокращаем дробь:

\( \frac{(2x - 1) \cdot 2(x + 3)}{x + 3} = 2(2x - 1) = 4x - 2 \)

Примечание: В условии задания, вероятно, опечатка, и знаменатель должен быть \( 2x - 1 \) или \( x + 3 \) для числителя \( 4x^2+10x-6 \). Если предполагается, что дробь сокращается, то числитель должен иметь корень \( x = -3 \), что не так. Если же сокращение подразумевает \( \frac{4x^2 + 10x - 6}{2x - 1} \), то результат будет \( 2(x+3) = 2x+6 \).

4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

По условию:

\( 2(a + b) = 20 \) \(\Rightarrow\) \( a + b = 10 \)

\( a \cdot b = 24 \)

Из первого уравнения выразим \( b = 10 - a \). Подставим во второе уравнение:

\( a(10 - a) = 24 \)

\( 10a - a^2 = 24 \)

\( a^2 - 10a + 24 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \)

\( a_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6 \)

\( a_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4 \)

Если \( a = 6 \) см, то \( b = 10 - 6 = 4 \) см.

Если \( a = 4 \) см, то \( b = 10 - 4 = 6 \) см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 4 см.

5. В уравнении \( x^2 + px - 18 = 0 \) один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть \( x_1 = -9 \). Подставим это значение в уравнение:

\( (-9)^2 + p(-9) - 18 = 0 \)

\( 81 - 9p - 18 = 0 \)

\( 63 - 9p = 0 \)

\( 9p = 63 \)

\( p = \frac{63}{9} = 7 \)

Теперь уравнение имеет вид: \( x^2 + 7x - 18 = 0 \).

Найдем второй корень \( x_2 \). По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -p \)

\( -9 + x_2 = -7 \)

\( x_2 = -7 + 9 = 2 \)

Проверим произведение корней:

\( x_1 x_2 = c \)

\( -9 2 = -18 \)

\( -18 = -18 \) (Верно)

Ответ: другой корень равен 2, коэффициент p равен 7.