Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Вариант 3
1. Решите уравнение:
- a) \( 7x^2 - 9x + 2 = 0 \)
\( D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 \)
\( x_1 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = \frac{14}{14} = 1 \)
\( x_2 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \) - б) \( 5x^2 = 12x \)
\( 5x^2 - 12x = 0 \)
\( x(5x - 12) = 0 \)
\( x_1 = 0 \), \( 5x - 12 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{12}{5} = 2.4 \) - в) \( 7x^2 - 28 = 0 \)
\( 7x^2 = 28 \)
\( x^2 = \frac{28}{7} = 4 \)
\( x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \) - г) \( x^2 + 20x + 91 = 0 \)
\( D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36 \)
\( x_1 = \frac{-20 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
\( x_2 = \frac{-20 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 6}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \)
2. Докажите тождество: \( x^2 + x - 56 = (x - 7)(x + 8) \)
Раскроем скобки в правой части:
\( (x - 7)(x + 8) = x \cdot x + x \cdot 8 - 7 \cdot x - 7 \cdot 8 = x^2 + 8x - 7x - 56 = x^2 + x - 56 \)
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
3. Сократите дробь: \( \frac{x^2 - 5x + 6}{3x - 6} \)
Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
\( x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)
\( x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)
Значит, \( x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \).
Разложим знаменатель:
\( 3x - 6 = 3(x - 2) \)
Теперь сокращаем дробь:
\( \frac{(x - 3)(x - 2)}{3(x - 2)} = \frac{x - 3}{3} \)
Ответ: \( \frac{x - 3}{3} \).
4. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь — 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).
По условию:
\( 2(a + b) = 26 \) \(\Rightarrow\) \( a + b = 13 \)
\( a \cdot b = 36 \)
Из первого уравнения выразим \( b = 13 - a \). Подставим во второе уравнение:
\( a(13 - a) = 36 \)
\( 13a - a^2 = 36 \)
\( a^2 - 13a + 36 = 0 \)
Решим квадратное уравнение:
\( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \)
\( a_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9 \)
\( a_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4 \)
Если \( a = 9 \) см, то \( b = 13 - 9 = 4 \) см.
Если \( a = 4 \) см, то \( b = 13 - 4 = 9 \) см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 4 см.
5. В уравнении \( x^2 + px + 56 = 0 \) один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент p.
Пусть \( x_1 = -4 \). Подставим это значение в уравнение:
\( (-4)^2 + p(-4) + 56 = 0 \)
\( 16 - 4p + 56 = 0 \)
\( 72 - 4p = 0 \)
\( 4p = 72 \)
\( p = \frac{72}{4} = 18 \)
Теперь уравнение имеет вид: \( x^2 + 18x + 56 = 0 \).
Найдем второй корень \( x_2 \). По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -p \)
\( -4 + x_2 = -18 \)
\( x_2 = -18 + 4 = -14 \)
Проверим произведение корней:
\( x_1 x_2 = 56 \)
\( -4 (-14) = 56 \)
\( 56 = 56 \) (Верно)
Ответ: другой корень равен -14, коэффициент p равен 18.
