Вариант 2: 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x - 10 = 0; б) 2x² - 3x = 0; в) 16х² = 49; г) x² - 2x - 35 = 0. 2. Докажите тождество: 4x² + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6). 3. Сократите дробь: (x² - x - 2) / (2x + 2). 4. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 5. Один из корней уравнения x² + 11x + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Вариант 2

1. Решите уравнение:

1. a) \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \)
   \( D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \)
   \( x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
   \( x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \)
2. б) \( 2x^2 - 3x = 0 \)
   \( x(2x - 3) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \), \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{2} = 1.5 \)
3. в) \( 16x^2 = 49 \)
   \( x^2 = \frac{49}{16} \)
   \( x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4} = \pm 1.75 \)
4. г) \( x^2 - 2x - 35 = 0 \)
   \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \)
   \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
   \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

2. Докажите тождество: \( 4x^2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6) \)

Раскроем скобки в правой части:

\( (4x + 3)(x + 6) = 4x \cdot x + 4x \cdot 6 + 3 \cdot x + 3 \cdot 6 = 4x^2 + 24x + 3x + 18 = 4x^2 + 27x + 18 \)

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

3. Сократите дробь: \( \frac{x^2 - x - 2}{2x + 2} \)

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \).

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Значит, \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1) \).

Разложим знаменатель:

\( 2x + 2 = 2(x + 1) \)

Теперь сокращаем дробь:

\( \frac{(x - 2)(x + 1)}{2(x + 1)} = \frac{x - 2}{2} \)

Ответ: \( \frac{x - 2}{2} \).

4. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

По условию:

\( 2(a + b) = 30 \) \(\Rightarrow\) \( a + b = 15 \)

\( a \cdot b = 56 \)

Из первого уравнения выразим \( b = 15 - a \). Подставим во второе уравнение:

\( a(15 - a) = 56 \)

\( 15a - a^2 = 56 \)

\( a^2 - 15a + 56 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \)

\( a_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8 \)

\( a_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = 7 \)

Если \( a = 8 \) см, то \( b = 15 - 8 = 7 \) см.

Если \( a = 7 \) см, то \( b = 15 - 7 = 8 \) см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 7 см.

5. Один из корней уравнения \( x^2 + 11x + q = 0 \) равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть \( x_1 = -7 \). Подставим это значение в уравнение:

\( (-7)^2 + 11(-7) + q = 0 \)

\( 49 - 77 + q = 0 \)

\( -28 + q = 0 \)

\( q = 28 \)

Теперь уравнение имеет вид: \( x^2 + 11x + 28 = 0 \).

Найдем второй корень \( x_2 \). По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -11 \)

\( -7 + x_2 = -11 \)

\( x_2 = -11 + 7 = -4 \)

Проверим произведение корней:

\( x_1 x_2 = q \)

\( -7 (-4) = 28 \)

\( 28 = 28 \) (Верно)

Ответ: другой корень равен -4, свободный член q равен 28.