Вариант 1. 1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О. ∠AOB = 80°, ∠AC : ∠BC = 2 : 3. Найдите углы треугольника АВС.

Решение:

1. Для начала найдем величину дуг AC и BC.

• Пусть ∠AC = 2x, тогда ∠BC = 3x.
• Сумма углов, опирающихся на дуги AC и BC, равна углу ∠ACB.
• Центральный угол ∠AOB = 80°, значит, дуга AB = 80°.
• Сумма дуг окружности равна 360°, поэтому 2x + 3x + 80° = 360°.
• 5x = 280°
• x = 56°
• Следовательно, ∠AC = 2 * 56° = 112° и ∠BC = 3 * 56° = 168°.

2. Теперь найдем углы треугольника ABC.

• Угол ∠ABC вписан и опирается на дугу AC. ∠ABC = ∠AC / 2 = 112° / 2 = 56°.
• Угол ∠BAC вписан и опирается на дугу BC. ∠BAC = ∠BC / 2 = 168° / 2 = 84°.
• Угол ∠ACB вписан и опирается на дугу AB. ∠ACB = ∠AB / 2 = 80° / 2 = 40°.

Проверка: Сумма углов треугольника: 56° + 84° + 40° = 180°.

Ответ: ∠ABC = 56°, ∠BAC = 84°, ∠ACB = 40°.