Вариант II. 1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О (см. рис. к задаче 1 I варианта), ∠ABC = 80°, ∠BC : ∠AB = 3 : 2. Найдите углы треугольника АОВ.

Решение:

1. Определим величину дуг AC и AB.

• Угол ∠ABC — вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается (дуга AC).
• ∠ABC = 80°, значит, дуга AC = 2 * 80° = 160°.
• По условию, ∠BC : ∠AB = 3 : 2. Обозначим ∠BC = 3x, ∠AB = 2x.
• Сумма всех дуг окружности равна 360°.
• Дуга AC + Дуга BC + Дуга AB = 360°.
• 160° + 3x + 2x = 360°.
• 5x = 360° - 160° = 200°.
• x = 40°.
• Следовательно, Дуга BC = 3 * 40° = 120°, Дуга AB = 2 * 40° = 80°.

2. Найдем углы треугольника AOB.

• Центральный угол ∠AOB равен величине дуги AB, на которую он опирается.
• ∠AOB = Дуга AB = 80°.
• Треугольник AOB — равнобедренный (OA = OB = радиус окружности).
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OAB = ∠OBA.
• Сумма углов треугольника AOB равна 180°.
• ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
• 2 * ∠OAB + 80° = 180°.
• 2 * ∠OAB = 100°.
• ∠OAB = 50°.
• Значит, ∠OBA = 50°.

Ответ: ∠AOB = 80°, ∠OAB = 50°, ∠OBA = 50°.