Вариант 1. 1. Упростите выражение \((x + 3)(y - 2) + 2x - 3y + 1\) и найдите его значение при \(x = 4\sqrt{2},\ y = \sqrt{2}\). 2. Сократите дробь \(\frac{24a^5y^4}{(2a^2y)^3}\). 3. Разложите на множители \(4px + 3py - 4qx - 3qy\). 4. Упростите выражение \(\left(\frac{9a^2 + b^2}{3} + 2ab\right) : \frac{3a + b}{6}\).

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   \((x+3)(y-2)+2x-3y+1=xy-2x+3y-6+2x-3y+1=xy-5\).

   Подставим значения: \((4\sqrt{2})(\sqrt{2})-5=8-5=3\).

2. Возведём знаменатель в степень и сократим степени одинаковых переменных:

   \(\frac{24a^5y^4}{(2a^2y)^3}=\frac{24a^5y^4}{8a^6y^3}=\frac{3y}{a}\), при \(a\ne0\) и \(y\ne0\).

3. Сгруппируем слагаемые с общими множителями:

   \(4px+3py-4qx-3qy=4x(p-q)+3y(p-q)=(p-q)(4x+3y)\).

4. Преобразуем выражение в скобках к квадрату суммы:

   \(\frac{9a^2+b^2}{3}+2ab=\frac{9a^2+6ab+b^2}{3}=\frac{(3a+b)^2}{3}\).

   Выполним деление на дробь:

   \(\frac{(3a+b)^2}{3}:\frac{3a+b}{6}=2(3a+b)\), при \(3a+b\ne0\).

Ответ: 1) \(xy-5\); значение — 3. 2) \(\frac{3y}{a}\). 3) \((p-q)(4x+3y)\). 4) \(2(3a+b)\).