Вариант 1. 1. В четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°, AB ∥ CD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.

Пусть O — точка пересечения диагоналей.

1. Так как AB ∥ CD и ∠A + ∠B = 180°, то AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — центр его центральной симметрии. При этой симметрии B переходит в D, а сторона BC — в сторону DA.
3. Поскольку BM = KD, точка M при этой симметрии переходит в точку K: равные отрезки откладываются от соответствующих вершин B и D вдоль соответствующих сторон.
4. Значит, O — середина MK, откуда OM = OK.

Ответ: OM = OK.