Вариант 1. 2. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, так что MP = PB = AK; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

Обозначим общую длину MP, PB и AK через a. В параллелограмме MPKH стороны MP и KH параллельны, а PK и MH параллельны.

1. В треугольнике MPB имеем MP = PB = a и ∠MPB = 60°. Поэтому треугольник MPB равносторонний, а MB = a.
2. Так как MB лежит на стороне MH, а PK ∥ MH, то угол между PM и PK равен углу между PM и MB. С учётом направления лучей угол параллелограмма при P равен 120°, а соседний угол — 60°.
3. Поскольку PK ∥ MH, расстояние между этими параллельными прямыми равно составляющей MP, перпендикулярной к ним. Из ∠MPK = 120° оно равно a sin 120° = a√3/2.
4. На стороне PK отрезок AK равен a, поэтому в треугольнике AKH угол между AK и AH определяется сторонами параллелограмма; эквивалентно, при векторном сложении AH получается вектор с длиной a. Следовательно, AH = a.

Таким образом, BM = a и AH = a.

Ответ: углы параллелограмма равны 60° и 120°; BM = AH.