Вариант 1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AA₁, точка L — ребру DD₁. При этом A₁K : KA = 1 : 3, D₁L : LD = 2 : 1. Проведена прямая KL. Используя рисунок, ответьте на следующие вопросы. 1. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости ABD. 2. Найдите точку пересечения прямых KL и A₁D₁. 3. Укажите линию пересечения плоскостей A₁AD и B₁EF. 4. Если ребро куба равно a = 12, найдите длину отрезка: а) C₁L; б) KL. В задании 4 на рисунке выполните дополнительные построения (C₁L, KL) и вычислите длины отрезков.

Введём координаты: A(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; a; 0), A₁(0; 0; a), D₁(a; 0; a), C₁(a; a; a).

Из отношения A₁K : KA = 1 : 3 следует, что AK = 3a/4, поэтому K(0; 0; 3a/4). Из D₁L : LD = 2 : 1 следует, что DL = a/3, поэтому L(a; 0; a/3).

1. Плоскость ABD имеет уравнение z = 0. На прямой KL координаты можно записать как (x; 0; z) = (0; 0; 3a/4) + t(a; 0; −5a/12). При z = 0 получаем t = 9/5 и x = 9a/5. Значит, прямая KL пересекает плоскость ABD в точке P(9a/5; 0; 0), лежащей на продолжении AD за точку D.
2. Прямая A₁D₁ задаётся условием z = a, y = 0. На прямой KL этому соответствует t = −3/5, откуда x = −3a/5. Точка пересечения Q лежит на продолжении A₁D₁ за A₁.
3. Плоскость A₁AD — передняя грань куба, и прямая KL лежит в этой плоскости. По рисунку E, K, L, F лежат на одной прямой, поэтому KL принадлежит также плоскости B₁EF. Следовательно, линия пересечения плоскостей — прямая KL.
4. При a = 12:
   • В прямоугольном треугольнике C₁DL катеты C₁D = 12 и DL = 4. Поэтому C₁L = √(12² + 4²) = 4√10.
   • Разности координат точек K и L по направлениям рёбер равны 12 и 3 − 9 = −6. Поэтому KL = √(12² + 6²) = 6√5.

Ответ: 1) P — точка продолжения AD за D, причём DP = 3a/5; 2) Q — точка продолжения A₁D₁ за A₁, причём A₁Q = 3a/5; 3) KL; 4) а) C₁L = 4√10; б) KL = 6√5.

Замечание: в пункте 4 расстояния получены непосредственно из координат и условий деления рёбер. При этих условиях координаты L имеют высоту 4, а K — высоту 9, так что разность высот равна 5, а не 6. Следовательно, правильный расчёт для KL: KL = √(12² + 5²) = 13.

Исправленный ответ пункта 4б: KL = 13.