Вариант 1, N1: 1) log5(2x+3) > log5(x - 1) 2) log(2x - 5) <-2 3) log(2x – 3) > log(x2 – 6)

Решение:

1) \( \log_5(2x+3) > \log_5(x - 1) \)

1. ОДЗ: \( 2x+3 > 0 \) ⇒ \( x > -1.5 \) и \( x-1 > 0 \) ⇒ \( x > 1 \). Общая ОДЗ: \( x > 1 \).
2. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), то \( 2x+3 > x-1 \) ⇒ \( x > -4 \).
3. Пересекаем \( x > -4 \) с ОДЗ \( x > 1 \), получаем \( x > 1 \).

2) \( \log_{1/2}(2x - 5) < -2 \)

1. ОДЗ: \( 2x-5 > 0 \) ⇒ \( x > 2.5 \).
2. Так как основание логарифма \( 1/2 < 1 \), то \( 2x-5 > (1/2)^{-2} \) ⇒ \( 2x-5 > 4 \) ⇒ \( 2x > 9 \) ⇒ \( x > 4.5 \).
3. Пересекаем \( x > 4.5 \) с ОДЗ \( x > 2.5 \), получаем \( x > 4.5 \).

3) \( \log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) > \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 6) \)

1. ОДЗ: \( 2x-3 > 0 \) ⇒ \( x > 1.5 \) и \( x^2-6 > 0 \) ⇒ \( x < -\sqrt{6} \) или \( x > \sqrt{6} \). Общая ОДЗ: \( x > \sqrt{6} \) (так как \( \sqrt{6} \approx 2.45 \) и \( 1.5 < \sqrt{6} \) ).
2. Так как основание логарифма \( 1/2 < 1 \), то \( 2x-3 < x^2-6 \) ⇒ \( x^2 - 2x - 3 > 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) находим по теореме Виета: \( x_1 = 3, x_2 = -1 \). Получаем \( (x-3)(x+1) > 0 \) ⇒ \( x < -1 \) или \( x > 3 \).
3. Пересекаем \( x < -1 \) или \( x > 3 \) с ОДЗ \( x > \sqrt{6} \). Получаем \( x > 3 \).

Ответ: 1) \( x > 1 \); 2) \( x > 4.5 \); 3) \( x > 3 \).