Вариант 3, N3: a) log2(x² - 3x) < 2; 6) log0,3(2x²-9x+4) ≥ ≥ 2log0,3(x+2) B) log: x - log, x-2>0

Решение:

a) \( \log_2(x^2 - 3x) < 2 \)

1. ОДЗ: \( x^2 - 3x > 0 \) ⇒ \( x(x-3) > 0 \) ⇒ \( x < 0 \) или \( x > 3 \).
2. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то \( x^2 - 3x < 2^2 \) ⇒ \( x^2 - 3x < 4 \) ⇒ \( x^2 - 3x - 4 < 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) находим по теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = -1 \). Получаем \( (x-4)(x+1) < 0 \) ⇒ \( -1 < x < 4 \).
3. Пересекаем \( -1 < x < 4 \) с ОДЗ \( x < 0 \) или \( x > 3 \). Получаем \( -1 < x < 0 \) или \( 3 < x < 4 \).

6) \( \log_{0.3}(2x^2 - 9x + 4) \geq 2\log_{0.3}(x+2) \)

1. ОДЗ: \( 2x^2 - 9x + 4 > 0 \) и \( x+2 > 0 \) ⇒ \( x > -2 \). Корни \( 2x^2 - 9x + 4 = 0 \): \( x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4} \), т.е. \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 0.5 \). Значит, \( x < 0.5 \) или \( x > 4 \). Общая ОДЗ: \( -2 < x < 0.5 \) или \( x > 4 \).
2. Так как основание логарифма \( 0.3 < 1 \), то \( 2x^2 - 9x + 4 \leq (x+2)^2 \) ⇒ \( 2x^2 - 9x + 4 \leq x^2 + 4x + 4 \) ⇒ \( x^2 - 13x \leq 0 \) ⇒ \( x(x-13) \leq 0 \) ⇒ \( 0 \leq x \leq 13 \).
3. Пересекаем \( 0 \leq x \leq 13 \) с ОДЗ \( -2 < x < 0.5 \) или \( x > 4 \). Получаем \( 0 \leq x < 0.5 \) или \( 4 < x \leq 13 \).

B) \( \log_3 x - \log_3 (x-2) > 0 \)

1. ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x-2 > 0 \) ⇒ \( x > 2 \).
2. \( \log_3 x > \log_3 (x-2) \).
3. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), то \( x > x-2 \) ⇒ \( 0 > -2 \) (верно при любом \( x \)).
4. Пересекаем \( x \in R \) с ОДЗ \( x > 2 \), получаем \( x > 2 \).

Ответ: a) \( -1 < x < 0 \) или \( 3 < x < 4 \); 6) \( 0 \leq x < 0.5 \) или \( 4 < x \leq 13 \); B) \( x > 2 \).