Вариант 1. Плоскость α проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD — точки M и N. а) Докажите, что AD ∥ α. б) Найдите BC, если AD = 10 см, MN = 8 см.

а) Рассмотрим плоскость трапеции ABCD. Она пересекает плоскость α по прямой MN, поскольку M и N принадлежат обеим плоскостям. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон трапеции, поэтому является её средней линией и параллелен основаниям: MN ∥ AD. Прямая AD лежит в плоскости трапеции и параллельна линии её пересечения с α; следовательно, AD не пересекает α и AD ∥ α.

б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

MN = (AD + BC) / 2.

Подставим данные: 8 = (10 + BC) / 2, откуда 16 = 10 + BC и BC = 6 см.

Ответ: BC = 6 см.