Вариант 1. Решите треугольник: а) a = 8; b = 5; ∠A = 65°; б) ∠C = 140°; ∠B = 20°; b = 15; в) a = 6; b = 8; c = 12.

Используем теорему синусов и теорему косинусов. Углы округлены до десятых, стороны — до сотых.

а) По теореме синусов: \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\sin65^\circ}{8}\), откуда \(B\approx34.5^\circ\). Второе значение арксинуса не подходит, поскольку его сумма с \(A\) превышает \(180^\circ\). Тогда \(C=180^\circ-65^\circ-34.5^\circ\approx80.5^\circ\). По теореме синусов \(c=\frac{a\sin C}{\sin A}\approx8.71\).

б) \(A=180^\circ-140^\circ-20^\circ=20^\circ\). По теореме синусов \(a=\frac{15\sin20^\circ}{\sin20^\circ}=15\), \(c=\frac{15\sin140^\circ}{\sin20^\circ}\approx28.07\).

в) По теореме косинусов: \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{172}{192}\), поэтому \(A\approx26.4^\circ\). Аналогично \(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{116}{144}\), поэтому \(B\approx36.3^\circ\). Тогда \(C=180^\circ-A-B\approx117.3^\circ\).

Ответ: а) \(B\approx34.5^\circ, C\approx80.5^\circ, c\approx8.71\); б) \(A=20^\circ, a=15, c\approx28.07\); в) \(A\approx26.4^\circ, B\approx36.3^\circ, C\approx117.3^\circ\).