Вариант 3. Решите треугольник: а) a = 10; b = 12; ∠A = 45°; б) ∠C = 120°; ∠A = 30°; c = 13; в) a = 7; b = 9; c = 11.

Используем теорему синусов и теорему косинусов. Углы округлены до десятых, стороны — до сотых.

а) По теореме синусов \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{12\sin45^\circ}{10}\approx0.8485\). Возможны два угла: \(B_1\approx58.1^\circ\) и \(B_2\approx121.9^\circ\); оба дают положительный третий угол. Поэтому получаем два решения: \(C_1\approx76.9^\circ\), \(c_1=\frac{10\sin C_1}{\sin45^\circ}\approx13.68\); либо \(C_2\approx13.1^\circ\), \(c_2=\frac{10\sin C_2}{\sin45^\circ}\approx3.21\).

б) \(B=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ\). По теореме синусов \(a=\frac{13\sin30^\circ}{\sin120^\circ}\approx7.51\), и так же \(b\approx7.51\).

в) По теореме косинусов \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{201}{198}\) — эта запись вычислена неверно для заданных сторон? Подставим внимательно: \(\cos A=\frac{9^2+11^2-7^2}{2\cdot9\cdot11}=\frac{153}{198}\), значит \(A\approx39.4^\circ\). Далее \(\cos B=\frac{7^2+11^2-9^2}{2\cdot7\cdot11}=\frac{89}{154}\), значит \(B\approx54.7^\circ\). Тогда \(C\approx85.9^\circ\).

Ответ: а) два решения: \((B,C,c)\approx(58.1^\circ,76.9^\circ,13.68)\) или \((121.9^\circ,13.1^\circ,3.21)\); б) \(B=30^\circ, a=b\approx7.51\); в) \(A\approx39.4^\circ, B\approx54.7^\circ, C\approx85.9^\circ\).