Вариант 1, Задание 3: В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

В равнобедренной трапеции, если высота делит большее основание на отрезки, то один из этих отрезков равен полуразности оснований, а другой равен полусумме оснований, увеличенной на этот же отрезок. Обозначим большее основание трапеции как $$b$$, меньшее основание как $$a$$. Из условия задачи, высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Поскольку трапеция равнобедренная, отрезок, равный 5 см, соответствует полуразности оснований: $$\frac{b - a}{2} = 5$$. Следовательно, $$b - a = 10$$. Отрезок, равный 12 см, соответствует половине большего основания плюс отрезок, равный 5 см: $$12 = \frac{b+a}{2} - 5 + 5$$ (не верно, нужно пересмотреть подход к задаче). В данном случае отрезки 5 и 12 см говорят о том, что высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник, где катет (5 см) - это проекция боковой стороны на большее основание, а 12 см – это оставшаяся часть большего основания после вычитания проекции боковой стороны, плюс меньшее основание. Значит, $$b= 5+12+a$$ или $$b = 17+a$$ Подставим это в $$b-a=10$$, получим $$17+a -a =10$$, это невозможно. Пересмортим первое условие. Сумма отрезков, на которые высота делит большее основание, равна длине большего основания: $$b = 5 + 12 = 17$$ см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{a + b}{2}$$. Высота, опущенная из вершины, образует прямоугольный треугольник. Проекция боковой стороны на большее основание равна $$(b - a) / 2$$. В нашем случае это 5 см. Тогда $$(b - a) / 2 = 5$$, следовательно, $$b - a = 10$$. Так как $$b = 17$$, то $$17 - a = 10$$, откуда $$a = 7$$ см. Средняя линия трапеции равна $$m = \frac{a + b}{2} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ см. Ответ: 12 см.