Вариант 2, Задание 3: В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если один из углов равен 60°, то второй угол при том же основании тоже равен 60°. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Так как угол равен 60°, а трапеция равнобедренная, то проекция боковой стороны на большее основание будет равна половине разности большего и меньшего оснований. Пусть $$b$$ — большее основание, $$a$$ — меньшее основание, равное 7 см. Боковая сторона равна 8 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник. $$\cos(60°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{(b - a) / 2}{8}$$. $$\cos(60°) = \frac{1}{2}$$, поэтому $$\frac{(b - a) / 2}{8} = \frac{1}{2}$$. $$(b - a) / 2 = 4$$, значит, $$b - a = 8$$. Так как $$a = 7$$, то $$b - 7 = 8$$, откуда $$b = 15$$ см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{a + b}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ см. Ответ: 11 см.