Вариант 1, задание 5: Сторона треугольника равна \( 6\sqrt{3} \) см, а прилежащие к ней углы равны 40° и 80°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол равен \( 180 - 40 - 80 = 60^{\circ} \). Центральный угол, опирающийся на дугу, равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Дуги соответствуют углам 40, 80 и 60 градусов. Центральные углы дуг \( 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ} \), \( 2 \times 80^{\circ} = 160^{\circ} \), \( 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Длина дуги \( l = R \theta \), где \( \theta \) - угол в радианах. Используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности: \( \frac{a}{\sin(A)} = 2R \), где а - сторона, A - угол, противолежащий этой стороне. \( R = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sin(60^{\circ})} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \) см. Длина дуги напротив 40°: \( l_1 = 6 \times \frac{80\pi}{180} = \frac{8\pi}{3} \) см. Длина дуги напротив 80°: \( l_2 = 6 \times \frac{160\pi}{180} = \frac{16\pi}{3} \) см. Длина дуги напротив 60°: \( l_3 = 6 \times \frac{120\pi}{180} = 4\pi \) см. Ответ: \( \frac{8\pi}{3} \), \( \frac{16\pi}{3} \), \( 4\pi \) см.