Вариант 1 1. На рисунке 271 точка O – центр окружности, ∠AOC = 50°. Найдите угол BCO. 2. К окружности с центром O провели касательную AB (B – точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 8 см и ∠AOB = 45°. 3. Через концы диаметра AB окружности с центром O проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC. 4. Постройте равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию, и углу между этой медианой и боковой стороной треугольника. 5. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

Вариант 1

1. Угол BCO:

В треугольнике BOC: OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.

Угол BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 50° = 130° (развернутый угол).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OBC = ∠OCB = (180° - 130°) / 2 = 50° / 2 = 25°.

Ответ: 25°

2. Радиус окружности:

Так как AB — касательная, то радиус OB перпендикулярен AB. Значит, ∠OBA = 90°.

В прямоугольном треугольнике AOB:

\( \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} \)

\( \tan(45°) = \frac{8}{OB} \)

\( 1 = \frac{8}{OB} \)

\( OB = 8 \) см.

Ответ: 8 см

3. Доказательство AD = BC:

AB — диаметр. Хорды BC и AD параллельны.

Так как BC || AD, то дуги AC и BD равны (как дуги между параллельными хордами, одна из которых — диаметр).

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, AD = BC.

4. Построение равнобедренного треугольника:

1. Постройте отрезок ML — медиану.


2. Отложите от точки M угол α (данный угол между медианой и боковой стороной) так, чтобы одна из сторон угла пересеклась с отрезком ML.


3. Пусть эта сторона пересекает ML в точке M, а другая сторона угла — в точке K.


4. Из точки K проведите прямую, параллельную MK, до пересечения с продолжением ML в точке B.


5. Постройте точку A такую, что M — середина отрезка AB (AM = MB).


6. Треугольник ABC — искомый. ML — медиана, проведенная к основанию BC. Угол ∠AMK = α.

5. Количество решений:

Задача имеет 2 решения. Точка на окружности, равноудаленная от двух точек вне ее, является пересечением серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему эти две точки, и окружности. В зависимости от расположения точек и окружности, может быть 0, 1 или 2 точки пересечения.