Вариант 3 1. На рисунке 62 точка O – центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC. 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней. 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?

Вариант 3

1. Угол AOC:

Угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Центральный угол AOC также опирается на дугу AC.

\( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC \)

\( \angle AOC = 2 \cdot 28° = 56° \)

Ответ: 56°

2. Отрезок OC:

CD — касательная, OD — радиус, значит, OD ⊥ CD. Треугольник ODC — прямоугольный с ∠ODC = 90°.

По условию OD = 6 см (радиус).

В прямоугольном треугольнике ODC:

\( \cos(\angle DCO) = \frac{OC}{OD} \)

\( \cos(30°) = \frac{OC}{6} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{OC}{6} \)

\( OC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 3\sqrt{3} \) см

3. Доказательство AC = AD:

AB — диаметр. Углы ∠BAC и ∠BAD — вписанные, опирающиеся на дуги BC и BD соответственно.

По условию \( \angle BAC = \angle BAD \).

Равные вписанные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга BC = дуга BD.

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, AC = AD.

4. Построение равнобедренного треугольника:

1. Постройте отрезок AB — боковую сторону треугольника.


2. Постройте точку M так, чтобы AM = AB (AM — данная боковая сторона).


3. Из точки B проведите окружность радиусом, равным данной медиане, проведённой к стороне AB.


4. Найдите точку C на этой окружности так, чтобы CM была медианой к AB.


5. Соедините точки A, B, C. Треугольник ABC — искомый.

5. Количество решений:

Задача имеет 2 решения. Точка на окружности, равноудаленная от двух точек вне ее, является пересечением серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему эти две точки, и окружности. В зависимости от расположения точек и окружности, может быть 0, 1 или 2 точки пересечения.