Вариант 2 1. На рисунке 271 точка O – центр окружности, ∠AOC = 40°. Найдите угол ABC. 2. К окружности с центром O провели касательную AB (D – точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 16 см и ∠DOA = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 281). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к одному из боковых сторон. 5. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Вариант 2

1. Угол ABC:

Угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Центральный угол AOC также опирается на дугу AC.

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \)

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 40° = 20° \)

Ответ: 20°

2. Радиус окружности:

OD — радиус, AB — касательная, значит, OD ⊥ AB. Следовательно, ∠ODB = 90°.

В прямоугольном треугольнике ODB:

\( \sin(\angle DOB) = \frac{DB}{OB} \). Здесь DB — это половина хорды, если OAB — треугольник. Но AB — касательная, точка касания D. По условию ∠DOA = 30°.

Условие некорректно сформулировано, так как точка касания обозначена как D, а в тексте задачи фигурирует касательная AB, что подразумевает точку касания B. Предположим, что точка касания B, а угол ∠AOB = 30°.

Если AB — касательная в точке B, и ∠AOB = 30°:

\( \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} \)

\( \tan(30°) = \frac{16}{OB} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{OB} \)

\( OB = 16\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 16\sqrt{3} \) см (при условии, что касательная в точке B и ∠AOB = 30°)

3. Доказательство AC = AD:

AB — диаметр. Углы ∠BAC и ∠BAD — вписанные, опирающиеся на дуги BC и BD соответственно.

По условию \( \angle BAC = \angle BAD \).

Равные вписанные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга BC = дуга BD.

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, AC = AD.

4. Построение равнобедренного треугольника:

1. Постройте отрезок AB — основание треугольника.


2. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку AB.


3. Отложите на серединном перпендикуляре отрезок CM, равный данной медиане.


4. Соедините точки A и C, B и C. Треугольник ABC — искомый.

5. Количество решений:

Задача имеет 2 решения. Центр окружности, равноудалённой от двух пересекающихся прямых, лежит на биссектрисе угла между этими прямыми. Точки на данной окружности, равноудалённые от двух прямых, будут пересечением этой окружности с биссектрисой.