Вариант 16. № 1. Во время шахматного турнира мальчики из 2 «А» обменялись рукопожатиями. Сколько было участников, если всего было 45 рукопожатий?

Решение:

Пусть \(n\) — количество участников турнира. Количество рукопожатий можно найти по формуле \( C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} \), где \(C_n^2\) — число сочетаний из \(n\) по 2.

По условию, всего было 45 рукопожатий:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 45 \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ n(n-1) = 90 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ n^2 - n - 90 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 \]

Найдем корни уравнения:

\[ n_1 = \frac{1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

\[ n_2 = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Так как количество участников не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: 10 участников.