Вариант 2. 2. Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Точка O лежит на ребре BB₁. Постройте: а) точку пересечения прямой C₁O с плоскостью ABC; б) точку пересечения прямой A₁O с плоскостью ABC; в) прямую, по которой пересекаются плоскость ABC и плоскость A₁OC₁. Опишите шаги построения.

1. Проведём прямую C₁O. Она лежит в плоскости боковой грани BCC₁B₁. Пересечение этой грани с плоскостью ABC — прямая BC. Поэтому искомая точка X — пересечение прямых C₁O и BC.
2. Проведём прямую A₁O. Она лежит в плоскости боковой грани ABB₁A₁, пересечение которой с плоскостью ABC — прямая AB. Поэтому искомая точка Y — пересечение прямых A₁O и AB.
3. Точки X и Y принадлежат плоскости ABC. Они также принадлежат плоскости A₁OC₁: X лежит на C₁O, а Y — на A₁O. Следовательно, прямая XY является линией пересечения этих плоскостей.

Если точка пересечения оказывается за пределами отрезка AB или BC, соответствующую прямую нужно продолжить.

Ответ: а) X = C₁O ∩ BC; б) Y = A₁O ∩ AB; в) XY.