Вариант 2. 2. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания.

Пусть большее основание равно \(L\), а горизонтальная проекция каждой боковой стороны на основание равна \(x\). Тогда высота трапеции равна \(h\), а длина боковой стороны — \(s\). По условию \(s=L/2\).

Рассмотрим диагональ и боковую сторону, выходящие из вершины большого основания. Их векторы можно представить как \((L-x,h)\) и \((-x,h)\). Перпендикулярность даёт \(-x(L-x)+h^2=0\), то есть \(h^2=x(L-x)\).

Также \(s^2=x^2+h^2=x^2+x(L-x)=xL\). Так как \(s=L/2\), получаем \(xL=L^2/4\), следовательно, \(x=L/4\). Тогда \(h^2=3L^2/16\), поэтому \(h/x=\sqrt3\).

Острый угол при большем основании имеет тангенс \(\sqrt3\), значит, он равен \(60^\circ\). Смежный с ним угол равен \(120^\circ\). В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Ответ: два угла по \(60^\circ\) и два по \(120^\circ\).