Вариант 2. 1. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Периметр трапеции равен 14 см, а большее основание — 5 см. Найдите меньшее основание. 2. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания.

1. Обозначим меньшее основание через b, боковую сторону через l. Если диагональ делит острый угол пополам, то в равнобедренной трапеции боковая сторона равна меньшему основанию: l = b.

Периметр: 5 + b + 2l = 14. Подставляем l = b: 5 + 3b = 14, поэтому b = 3 см.

Ответ: меньшее основание равно 3 см.

2. Пусть большее основание равно B, меньшее — b, а боковая сторона — l. Обозначим горизонтальный выступ основания через x = (B − b)/2, высоту — h. Из перпендикулярности диагонали и боковой стороны следует h² = (B² − b²)/4. Также l² = x² + h² = B(B − b)/2.

По условию l = B/2. Следовательно, B²/4 = B(B − b)/2, откуда b = B/2. Тогда h² = 3B²/16 и x = B/4, поэтому тангенс острого угла равен h/x = √3. Острый угол равен 60°, а смежный с ним — 120°.

Ответ: углы трапеции — 60°, 60°, 120°, 120°.