Вариант 2. 2. В тетраэдре DABC точка E — середина ребра AD, а точка M — точка пересечения медиан грани ABC. Разложите вектор EM по векторам DA, DB и DC.

Возьмём точку D за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин обозначаются \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DC}\).

Поскольку E — середина AD, \(\overrightarrow{DE}=\frac12\overrightarrow{DA}\). Центр тяжести треугольника ABC делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины, поэтому \(\overrightarrow{DM}=\frac13(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})\).

Вычтем радиус-вектор E из радиус-вектора M:

\[\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DE}=\frac13(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})-\frac12\overrightarrow{DA}.\]

Собирая коэффициенты при векторах, получаем:

\[\overrightarrow{EM}=-\frac16\overrightarrow{DA}+\frac13\overrightarrow{DB}+\frac13\overrightarrow{DC}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{EM}=-\frac16\overrightarrow{DA}+\frac13\overrightarrow{DB}+\frac13\overrightarrow{DC}\).