Вариант 2. 3. Докажите тождество: \(\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}\).

Разложим знаменатели на множители: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), \(x^2+2x=x(x+2)\), \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\).

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

\[\frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}.\]

Теперь разделим на вторую дробь:

\[\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6}=\frac{x-2}{x+2}.\]

Получено выражение из правой части, следовательно, тождество доказано при допустимых значениях \(x\): \(x\ne -2,0,2,\sqrt6,-\sqrt6\).