Вариант 2. 4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан. \(\overrightarrow{MN}=\vec a\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k(\vec a+\vec y)\). Найдите число k.

Пусть \(Q\) — середина стороны \(NK\). Тогда \(\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec y)\), так как \(\overrightarrow{MN}=\vec a\) и \(\overrightarrow{MK}=\vec y\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MQ}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec a+\vec y)=\frac{1}{3}(\vec a+\vec y)\).

Сравнивая с заданным равенством, получаем \(k=\frac{1}{3}\).

Ответ: \(k=\frac{1}{3}\).