Вариант 2. 4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан, \(\vec{MN}=\vec x\), \(\vec{MK}=\vec y\), \(\vec{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\). Найдите число k.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Если взять M за начало отсчёта, радиус-векторы вершин N и K равны \(\vec x\) и \(\vec y\), а радиус-вектор центра тяжести равен среднему арифметическому радиус-векторов трёх вершин:

\[\vec{MO}=\frac{\vec 0+\vec x+\vec y}{3}=\frac13(\vec x+\vec y).\]

Сравнивая с \(\vec{MO}=k(\vec x+\vec y)\), получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).