Вариант 2. Дана куб ABCDA₁B₁C₁D₁; M — середина ребра A₁D₁. Найдите угол между прямыми A₁C и CM.

Введём координаты куба с ребром 1: A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A₁(0;0;1), C(1;1;0), D₁(0;1;1). Тогда M — середина A₁D₁, то есть M(0;0.5;1).

Направляющие векторы: \(\overrightarrow{A_1C}=(1;1;-1)\), \(\overrightarrow{CM}=(-1;-0.5;1)\). Их скалярное произведение равно \(-1-0.5-1=-2.5\); длины равны \(\sqrt3\) и \(1.5\).

Косинус острого угла между прямыми: \(\cos\varphi=\frac{|-2.5|}{1.5\sqrt3}=\frac{5}{3\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{9}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac{5\sqrt3}{9}\approx 15.8^\circ\).