Вариант 3. 1. По третьему закону Кеплера определите период обращения Марса вокруг Солнца, если r = 1,52 а.е. 2. Найдите скорость движения Марса по орбите (орбита круговая, r = 1,52 а.е.). 3. Вычислите вторую космическую скорость для Марса. Сравните с земной. 4. При какой минимальной скорости (в долях c) потребуется учитывать релятивистские эффекты (γ ≥ 1,05)? Достижима ли такая скорость при современном уровне космонавтики?

1. Для планет Солнечной системы, если период Земли принять за 1 год, третий закон Кеплера имеет вид T² = r³, где r выражено в а.е. и T — в годах. Тогда T = √(1,52³) ≈ 1,87 года.

2. Скорость на круговой орбите: v = 2πr/T. Используем r = 1,52 а.е. ≈ 2,27·10¹¹ м и T ≈ 1,87 года ≈ 5,91·10⁷ с. Получаем v ≈ 2π·2,27·10¹¹/(5,91·10⁷) ≈ 2,41·10⁴ м/с = 24,1 км/с.

3. Вторая космическая скорость у поверхности планеты v₂ = √(2GM/R). Для Марса, при M ≈ 6,42·10²³ кг и R ≈ 3,39·10⁶ м, получаем v₂ ≈ 5,03 км/с. Для Земли она составляет примерно 11,2 км/с, поэтому марсианская скорость примерно в 2,2 раза меньше.

4. Из γ = 1/√(1−v²/c²) при γ = 1,05 следует v/c = √(1−1/1,05²) ≈ 0,305. Следовательно, заметно учитывать релятивистские эффекты по заданному критерию нужно начиная примерно с 0,305c. Такая скорость недостижима для современных космических аппаратов: их скорости намного меньше скорости света.

Ответ: 1) ≈ 1,87 года; 2) ≈ 24,1 км/с; 3) ≈ 5,03 км/с, меньше земной примерно в 2,2 раза; 4) ≈ 0,305c, современная космонавтика такой скорости не достигает.