Вариант 3. 1. Сколько рёбер у четырёхугольной пирамиды: а) 6; б) 12; в) 8? 2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида: а) 5; б) 4; в) 10; г) 6? 3. Подтвердите или опровергните утверждения: а) Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию? б) Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию. в) Общая точка боковых граней пирамиды называется вершиной. 4. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м × 4,5 м и высотой 4 м. Сколько листов железа размером 70 см × 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

1. У четырёхугольной пирамиды 4 ребра основания и 4 боковых ребра: всего 8. Правильный вариант — в).
2. Минимальное число граней — 4: треугольное основание и три боковые грани. Правильный вариант — б).
3. а) Нет. Плоскости двух противоположных боковых граней, перпендикулярных плоскости основания, должны содержать прямые, перпендикулярные соответствующим параллельным противоположным сторонам основания; такие плоскости параллельны, поэтому не могут одновременно проходить через общую вершину пирамиды. б) Да: высота пирамиды — перпендикуляр, проведённый из её вершины к плоскости основания. в) Да: все боковые грани имеют общую вершину — вершину пирамиды.
4. Апофема крыши: \(l=\sqrt{4^2+(4.5/2)^2}=\frac{\sqrt{337}}{4}\approx4.59\) м. Площадь боковой поверхности: \(S=\frac{4\cdot4.5\cdot l}{2}=\frac{9\sqrt{337}}{4}\approx41.26\) м². С учётом 10% отходов потребуется \(1.1S\approx45.39\) м². Площадь одного листа: \(0.70\cdot1.40=0.98\) м². Число листов: \(45.39/0.98\approx46.32\); округляем вверх.

Ответ: а) 8 рёбер; б) 4 грани; 3а — нет, 3б — да, 3в — да; понадобится 47 листов.