Вариант 3. 2. Докажите, что параллелограммом является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.
2. Треугольники AOB и BOC прямоугольные: ∠AOB = ∠BOC = 90°. Их катеты AO и OC равны, а катет OB общий. Значит, треугольники равны.
3. Из равенства треугольников следует AB = BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, AB = CD и BC = AD.
4. Таким образом, все четыре стороны равны: AB = BC = CD = AD.

Следовательно, параллелограмм ABCD является ромбом.