Вариант 3. 3. Биссектрисы углов M и P параллелограмма MKPT пересекают стороны KP и MT соответственно в точках A и B. а) Докажите, что отрезки MA и PB параллельны. б) Вычислите периметр параллелограмма MKPT, если KA = PA, AB = 12 см.

а) В параллелограмме противоположные углы равны, а их стороны попарно параллельны. Поэтому биссектрисы противоположных углов M и P имеют одинаковое направление: каждая делит пополам угол между параллельными прямыми MK и MT либо их продолжениями. Следовательно, MA ∥ PB.

б) Пусть MK = x, а MT = y. Поскольку MA — биссектриса угла M, точка A равноудалена от прямых MK и MT. При движении от K вдоль KP, параллельной MT, расстояние до MT постоянно, а расстояние до MK растёт пропорционально пройденному отрезку. Отсюда KA = MK = x.

По условию KA = PA, значит, A — середина KP. Тогда KP = KA + PA = 2x. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому MT = KP = 2x.

Рассмотрим треугольник MPT. В нём A лежит на KP, B — на MT, и MA ∥ PB; из расположения точек следует, что AB = x. Поэтому x = AB = 12 см.

Тогда MK = 12 см, KP = 24 см. Периметр:

P = 2(MK + KP) = 2(12 + 24) = 72 см.

Ответ: а) MA ∥ PB; б) 72 см.