Вариант 3. 4. Известны координаты вершин треугольника СРМ: C(1; 1), P(3; −1), M(7; 3). Определите косинус меньшего угла треугольника.

Сравним квадраты длин сторон:

\(CP^2=(3-1)^2+(-1-1)^2=8\), \(PM^2=(7-3)^2+(3-(-1))^2=32\), \(CM^2=(7-1)^2+(3-1)^2=40\).

Наименьшая сторона — \(CP\), поэтому меньший угол лежит напротив неё, при вершине M.

Для угла M используем векторы \(\overrightarrow{MC}=(-6;-2)\) и \(\overrightarrow{MP}=(-4;-4)\):

\(\cos M=\frac{\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MP}}{|\overrightarrow{MC}|\,|\overrightarrow{MP}|}=\frac{24+8}{\sqrt{40}\sqrt{32}}=\frac{32}{16\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt5}{5}\).