Вариант А1 1. Основание пирамиды - квадрат со стороной 6 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 8 см. а) Докажите, что боковые грани пирамиды - попарно равные прямоугольные треугольники. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть дана пирамида $$SABCD$$, основанием которой является квадрат $$ABCD$$ со стороной 6 см. Высота пирамиды проходит через вершину $$A$$, то есть $$SA$$ перпендикулярна плоскости основания. Боковые грани пирамиды: $$\triangle SAB$$, $$\triangle SBC$$, $$\triangle SCD$$, $$\triangle SDA$$. Так как $$SA$$ - высота пирамиды, то $$SA \perp AB$$ и $$SA \perp AD$$. Следовательно, $$\triangle SAB$$ и $$\triangle SAD$$ - прямоугольные треугольники с катетом $$SA = 8$$ см и $$AB = AD = 6$$ см. Значит, $$\triangle SAB = \triangle SAD$$ по двум катетам. Рассмотрим грани $$\triangle SBC$$ и $$\triangle SCD$$. Так как $$ABCD$$ - квадрат, то $$AB \perp BC$$ и $$AD \perp DC$$. Следовательно, $$SBC$$ и $$SCD$$ - прямоугольные треугольники. Найдем $$SB$$ и $$SD$$ по теореме Пифагора из $$\triangle SAB$$ и $$\triangle SAD$$: $$SB = SD = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ см. Таким образом, $$SBC$$ и $$SCD$$ - прямоугольные треугольники с катетом $$BC = CD = 6$$ см и гипотенузой $$SB = SD = 10$$ см. Следовательно, $$\triangle SBC = \triangle SCD$$. Все боковые грани пирамиды - прямоугольные треугольники, и они попарно равны. б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней: $$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD}$$ $$S_{\triangle SAB} = S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$$ см$$^2$$ Найдем $$SC$$ по теореме Пифагора из $$\triangle SCD$$: $$SC = \sqrt{SD^2 + DC^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136}$$ см. Площадь $$\triangle SCD$$ можно найти как полупроизведение катетов: $$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$$ см$$^2$$ $$S_{бок} = 24 + 24 + 30 + 30 = 108$$ см$$^2$$ Ответ: $$S_{бок} = 108$$ см$$^2$$